Векторная алгебра

Координаты вектора:

a⃗ {x_a; y_a; z_a}

a⃗ = x_ai⃗ + y_aj⃗ + z_ak⃗

Точки M₁(x₁; y₁; z₁), M₂(x₂; y₂; z₂):

$\stackrel{-}{M_1{M}_2}${x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁}

Длина (модуль) вектора:

$\left|\stackrel{-}{a}\right|=\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}$

Углы между вектором и осями координат:

$cos\alpha =\frac{x_a}{\left|\stackrel{-}{a}\right|}$

$cos\beta =\frac{y_a}{\left|\stackrel{-}{a}\right|}$

$cos\gamma =\frac{z_a}{\left|\stackrel{-}{a}\right|}$

cos²α + cos²β + cos²γ = 1

α - угол между вектором и осью Ox,
β - угол между вектором и осью Oy,
γ - угол между вектором и осью Oz

Арифметические действия с векторами

a⃗ {x_a; y_a; z_a} ± b⃗ {x_b; y_b; z_b} = c⃗ {x_a ± x_b; y_a ± y_b; z_a ± z_b}

k ⋅ a⃗ {x_a; y_a; z_a} = b⃗ {kx_a; ky_a; kz_a}

Свойства действий с векторами

Переместительный закон: a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗

Сочетательный закон: (a⃗ + b⃗) + c⃗ = a⃗ + (b⃗ + c⃗)

a⃗ − b⃗ = a⃗ + (− b⃗)

Сочетательный закон: (kl) a⃗ = k(la⃗)

Первый распределительный закон: (k + l) a⃗ = ka⃗ + la⃗

Второй распределительный закон: k(a⃗ + b⃗) = ka⃗ + kb⃗

Скалярное произведение векторов:

a⃗ ⋅ b⃗ = x_ax_b + y_ay_b + z_az_b

a⃗ ⋅ b⃗ = |a⃗| |b⃗| cos α

α - угол между векторами a⃗ и b⃗

Векторное произведение векторов:

a⃗ × b⃗ = |a⃗| |b⃗| sin α

α - угол между векторами a⃗ и b⃗

$\stackrel{-}{a}\times \stackrel{-}{b}=\left|\begin{array}{ccc}\stackrel{-}{i}& \stackrel{-}{j}& \stackrel{-}{k}\\ x_a& y_a& z_a\\ x_b& y_b& z_b\end{array}\right|$

Свойства векторного произведения

a⃗ × b⃗ = − (b⃗ × a⃗)

(λa⃗) × b⃗ = λ(a⃗ × b⃗)

(a⃗ + b⃗) × b⃗ = a⃗ × c⃗ + b⃗ × c⃗

Смешанное произведение векторов

$\stackrel{-}{a}\stackrel{-}{b}\stackrel{-}{c}=(\stackrel{-}{a}\times \stackrel{-}{b})\stackrel{-}{c}=\left|\begin{array}{ccc}{x}_a& y_a& z_a\\ x_b& y_b& z_b\\ x_c& y_c& z_c\end{array}\right|$

Компланарные векторы
(лежащие в одной или паралленых плоскостях)

a⃗b⃗c⃗ = 0

Коллинеарные (параллельные) векторы

a⃗ = λb⃗

a⃗ × b⃗ = 0

Ортогональные (перпендикулярные) векторы

a⃗ ⋅ b⃗ = 0