Аналитическая геометрия

Содержание

Расстояние между двумя точками A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂)

$d=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

Деление отрезка из точки A(x₁; y₁) в точку B(x₂; y₂) в отношении λ

$x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda }$

$y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }$

Общее уравнение прямой

Ax + By + C = 0

Направляющий вектор

p⃗(−B; A)

Вектор нормали

n⃗(A; B)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = kx + b, k = tg α

Уравнение прямой в отрезках

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

Каноническое уравнение прямой

Направляющий вектор p⃗(a; b), точка M(x₀; y₀):

$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}$

Уравнение прямой через нормальный вектор

Нормальный вектор n⃗(n₁; n₂), точка M(x₀; y₀):

n₁(x − x₀) + n₂(y − y₀) = 0

Уравнение прямой, проходящей через две точки M₁ (x₁; y₁), M₂ (x₂; y₂)

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

Уравнение прямой в параметрическом виде

Направляющий вектор p⃗(a; b), точка M(x₀; y₀):

$\{\begin{array}{c}x=at+x_0\\ y=bt+y_0\end{array}$

Взаимное расположение прямых

$tg\phi =\left|\frac{k_2-k_1}{k_1{k}_2+1}\right|$

$tg\phi =\left|\frac{A_1{B}_2-A_2{B}_1}{A_1{A}_2+B_1{B}_2}\right|$

Параллельные прямые

k₁ = k₂

A₁B₂ = A₂B₁

Перпендикулярные прямые

k₁k₂ = − 1

A₁A₂ = − B₁B₂

Расстояние от точки M (x₀; y₀) до прямой Ax + By + C = 0

$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Уравнение окружности с центром в точке O (x₀; y₀) и радиусом R

(x − x₀)² + (y − y₀)² = R²

Общее уравнение окружности

x² + y² + Ax + By + C = 0

Эксцентриситет окружности

ε = 0

Каноническое уравнение эллипса

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса

Уравнение эллипса с центром в точке C (x₀; y₀)

$\frac{{(x-x_0)}^2}{a^2}+\frac{{(y-y_0)}^2}{b^2}=1$

Расстояние от каждого из фокусов до центра симметрии эллипса: $c=\sqrt{|a^2-b^2|}$

Эксцентриситет эллипса

$\epsilon =\frac{c}{a}$

0 ≤ ε ≤ 1

Площадь эллипса

S = πab

S - площадь эллипса, a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса

Каноническое уравнение гиперболы

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Уравнение гиперболы с центром в точке C (x₀; y₀)

$\frac{{(x-x_0)}^2}{a^2}-\frac{{(y-y_0)}^2}{b^2}=1$

Расстояние от каждого из фокусов до центра симметрии гиперболы: $c=\sqrt{a^2+b^2}$

Эксцентриситет гиперболы

$\epsilon =\frac{c}{a}$

ε ≥ 1

Асимптоты гиперболы

$y=\pm \frac{b}{a}x$

Общее уравнение параболы

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

Каноническое уравнение параболы с фокусом в точке $F(\frac{p}{2};0)$

y² = 2px

p - фокальный параметр

Уравнение параболы с центром в точке C (x₀; y₀)

(y − y₀)² = 2p(x − x₀)

Директриса параболы

$x=-\frac{p}{2}$

Эксцентриситет параболы

ε = 1

Общее уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0

Вектор нормали плоскости

n⃗(A; B; C)

Каноническое уравнение плоскости

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

Уравнение плоскости, проходящей через точку M (x₀; y₀; z₀) с нормальным вектором n⃗ {A; B; C}

A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0

Уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам

Точка M₀(x₀; y₀; z₀), векторы k⃗(x_k; y_k; z_k), l⃗(x_l; y_l; z_l)

$\left|\begin{array}{ccc}x-x_0& x_k& x_l\\ y-y_0& y_k& y_l\\ z-z_0& z_k& z_l\end{array}\right|=0$

Уравнение плоскости, проходящей через три точки M₁ (x₁; y₁; z₁), M₂ (x₂; y₂; z₂), M₃ (x₃; y₃; z₃)

$\left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right|=0$

Угол между плоскостями

1-я плоскость: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0, нормальный вектор: n⃗ {A₁; B₁; C₁}

2-я плоскость: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, нормальный вектор: n⃗ {A₂; B₂; C₂}

$cos\phi =\frac{{\vec{n}}_1{\vec{n}}_2}{\left|{\vec{n}}_1\right|\left|{\vec{n}}_2\right|}=\frac{A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\cdot \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$

Перпендикулярные плоскости

A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0

Параллельные плоскости

$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\ne \frac{D_1}{D_2}$

Совпадающие плоскости

$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}$

Расстояние от точки M (x₀; y₀; z₀) до плоскости α: Ax + By + Cz + D = 0

$\rho (M;\alpha )=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Расстояние между двумя параллельными плоскостями α₁: Ax + By + Cz + D₁ = 0, α₂: Ax + By + Cz + D₂ = 0

$\rho ({\alpha }_1;{\alpha }_2)=\frac{|D_2-D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Каноническое уравнение прямой

Направляющий вектор p⃗(a; b; c), точка M(x₀; y₀; z₀):

$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку M (x₁; y₁; z₁) с нормальным вектором n⃗ {m; n; p}

$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки M₁ (x₁; y₁; z₁), M₂ (x₂; y₂; z₂)

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$

Параметрическое уравнение прямой

Направляющий вектор p⃗(a; b; c), точка M(x₀; y₀; z₀):

$\{\begin{array}{c}x=at+x_0\\ y=bt+y_0\\ z=ct+z_0\end{array}$

Прямая, заданная пересечением двух плоскостей

Плоскости: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0; A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

$\{\begin{array}{c}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$

Направляющий вектор прямой:

$p⃗=\left|\begin{array}{ccc}i⃗& j⃗& k⃗\\ A_1& B_1& C_1\\ A_2& B_2& C_2\end{array}\right|$