Тригонометрия

Содержание

Синус, косинус, тангенс, котангенс
Аркфункции
Секанс, косеканс

Синус, косинус, тангенс, котангенс

$sin α = \frac{a}{c}$

$cos α = \frac{b}{c}$

$tg α = \frac{a}{b}$

$ctg α = \frac{b}{a}$

Прямоугольный треугольник — Прямоугольный
треугольник

Свойства:

y = sin x

D(y) = R, E(y) ∈ [−1; 1]

y = cos x

D(y) = R, E(y) ∈ [−1; 1]

y = tg x

D(y) ∈ ( $- \frac{π}{2}$ + πk; $\frac{π}{2}$ + πk), E(y) = R

y = ctg x

D(y) ∈ (πk; π + πk), E(y) = R

Период и чётность:

sin (x ± 2πk) = sin x

cos (x ± 2πk) = cos x

tg (x ± πk) = tg x

ctg (x ± πk) = ctg x

sin (−x) = − sin x

cos (−x) = cos x

tg (−x) = − tg x

ctg (−x) = − ctg x

Основные формулы:

sin²x + cos²x = 1

$tg x = \frac{sin x}{cos x}$

$ctg x = \frac{cos x}{sin x}$

tg x · ctg x = 1

${tg}^{2} x + 1 = \frac{1}{{cos}^{2} x}$

${ctg}^{2} x + 1 = \frac{1}{{sin}^{2} x}$

Формулы сложения аргументов:

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

tg (α ± β) = $\frac{tg α \pm tg β}{1 \mp tg α tg β}$

ctg (α ± β) = $\frac{- 1 \pm ctg α ctg β}{ctg α \pm ctg β}$

Формулы двойного угла:

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = cos²x − sin²x

tg 2x = $\frac{2 tg x}{1 - {tg}^{2} x}$

ctg 2x = $\frac{{ctg}^{2} x - 1}{2 ctg x}$

Формулы половинного угла:

${sin}^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 - cos x}{2}$

${cos}^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 + cos x}{2}$

${tg}^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 - cos x}{1 + cos x}$

${ctg}^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 + cos x}{1 - cos x}$

Формулы суммы и разности функций:

sin α + sin β = $2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}$

sin α − sin β = $2 sin \frac{α - β}{2} cos \frac{α + β}{2}$

cos α + cos β = $2 cos \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}$

cos α − cos β = $- 2 sin \frac{α + β}{2} sin \frac{α - β}{2}$

Формулы произведения функций с разными аргументами:

sin α sin β = $\frac{1}{2}$ (cos (α − β) − cos (α + β))

cos α cos β = $\frac{1}{2}$ (cos (α − β) + cos (α + β))

sin α cos β = $\frac{1}{2}$ (sin (α − β) + sin (α + β))

Единичная окружность

sin α = y_A

cos α = x_A

$tg α = \frac{y_{A}}{x_{A}}$

$ctg α = \frac{x_{A}}{y_{A}}$

$sec α = \frac{1}{x_{A}}$

$cosec α = \frac{1}{y_{A}}$

Знаки функций по четвертям

Аркфункции

Решения тригонометрических уравнений

sin x = a

x = (−1)^k arcsin a + πk, k ∈ Z

cos x = a

x = ± arccos a + 2πk, k ∈ Z

tg x = a

x = arctg a + πk, k ∈ Z

ctg x = a

x = arcctg a + πk, k ∈ Z

Свойства аркфункций:

y = arcsin x (x = sin y)

x ∈ [−1; 1], y ∈ $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$

y = arccos x

x ∈ [−1; 1], y ∈ [0; π]

y = arctg x

x ∈ R, y ∈ $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$

y = arcctg x

x ∈ R, y ∈ (0; π)

Формулы аркфункций:

arcsin(−x) = −arcsin x

arccos(−x) = π − arccos x

arctg(−x) = −arctg x

arcctg(−x) = π − arcctg x

arcsin x + arccos x = π/2

arctg x + arcctg x = π/2

Секанс, косеканс

$sec α = \frac{c}{b}$

$cosec α = \frac{c}{a}$

Единичная окружность

Основные формулы:

$sec α = \frac{1}{cos α}$

$cosec α = \frac{1}{sin α}$

1 + tg²α = sec²α

1 + ctg²α = cosec²α

Период и чётность:

sec (α ± 2πk) = sec α

cosec (α ± 2πk) = cosec α

sec (−α) = sec α

cosec (−α) = −cosec α

Формулы приведения:

f (nπ ± α) = ±f (α)

$f (\frac{(2 n + 1) π}{2} \pm α) = \pm g (α)$

f — любая тригонометрическая функция
g — соответствующая ей кофункция

Универсальная тригонометрическая подстановка

$sec x = \frac{1 + {tg}^{2} \frac{x}{2}}{1 - {tg}^{2} \frac{x}{2}}$

$cosec x = \frac{1 + {tg}^{2} \frac{x}{2}}{2 tg \frac{x}{2}}$