Стереометрия. Тела вращения

Содержание

• Шар
• Цилиндр

• Конус
• Усечённый конус

Объём шарового слоя:

$V=\frac{1}{6}\pi h^3+\frac{1}{2}\pi h(r_1^2+r_2^2)$

h - высота шарового слоя, r₁, r₂ - радиусы оснований шарового слоя

Площадь поверхности шарового слоя (площадь сферического пояса):

S = 2πrh

r - радиус сферы, h - высота сферического пояса

Радиус шарового сегмента:

a² = 2rh − h² (из соотношения r² = (r − h)² + a²)

a - радиус сегмента, r - радиус шара, h - высота сегмента

Объём шарового сегмента:

$V=\frac{\pi }{6}h(3a^2+h^2)=\pi h^2(r-\frac{1}{3}h)$

a - радиус сегмента, h - высота сегмента, r - радиус шара

Площадь сферического сегмента:

S = 2πrh

r - радиус сферы, h - высота сферического сегмента

Объём шарового сектора:

$V=\frac{2}{3}\pi r^{2}h$

r - радиус шара, h - высота соответствующего шарового сегмента

Образующая конуса:

l ² = r² + h²

r - радиус основания конуса, h - высота конуса

Объём конуса:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

r - радиус основания конуса, h - высота конуса

Площадь боковой поверхности конуса:

S_бок = πrl

r - радиус конуса, l - образующая конуса

Площадь полной поверхности конуса:

S = πrl + πr²

r - радиус конуса, l - образующая конуса

Объём усечённого конуса:

$V=\frac{1}{3}h(S_1+\sqrt{S_1{S}_2}+S_2)=\frac{1}{3}\pi h(r^2+r{r}_1+r_1^2)$

S₁ - площадь нижнего основания, S₂ - площадь верхнего основания, h - высота усечённого конуса, r - радиус нижнего основания, r₁ - радиус верхнего основания

Площадь боковой поверхности усечённого конуса:

S_бок = π(r + r₁)l

r - радиус нижнего основания конуса, r₁ - радиус верхнего основания конуса, l - длина образующей усечённого конуса

Площадь полной поверхности усечённого конуса:

S = S_бок + S₁ + S₂ = π(r + r₁)l + πr² + πr₁²

S_бок - площадь боковой поверхности усечённого конуса, S₁ - площадь нижнего основания, S₂ - площадь верхнего основания, r - радиус нижнего основания конуса, r₁ - радиус верхнего основания конуса, l - образующая усечённого конуса