Стереометрия. Многогранники

Содержание

Плоскости
Куб
Параллелепипед

Призма
Пирамида
Другие тела

Плоскости

Площадь ортогональной проекции многоугольника

S_A₁B₁C₁ = S_ABC ⋅ cosα

A₁B₁C₁ - проекция треугольника ABC на проецируемую плоскость, α - угол между плоскостями A₁B₁C₁ и ABC

Теорема Эйлера для многогранников

N_в − N_р + N_г = 2

N_в - число вершин выпуклого многогранника; N_р - число его рёбер; N_г - число граней.

Куб (гексаэдр)

Характеристики куба

Форма грани: квадрат

Количество вершин: 8

Количество рёбер: 12

Количество граней: 6

Диагональ куба:

d = a√3

a - длина ребра куба

Объём куба:

V = a³

Площадь поверхности куба:

S = 6a²

Радиус описанной сферы:

$R = \frac{1}{2} a \sqrt{3}$

Радиус вписанной сферы:

r = 0,5a

Параллелепипед

Диагональ прямоугольного параллелепипеда:

d² = a² + b² + c²

a, b, c - стороны прямоугольного параллелепипеда

Объём прямоугольного параллелепипеда:

V = abc

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

S = 2ab + 2ac + 2bc

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

S_бок = 2ac + 2bc

Объём любого параллелепипеда:

V = S_оснh

S_осн - площадь основания, h - высота параллелепипеда

Призма

Объём призмы:

V = S_оснh

S_осн - площадь основания, h - высота призмы

Объём правильной n-угольной призмы:

$V = \frac{a^{2} n h}{4 tg \frac{π}{n}}$

a - длина ребра основания правильной призмы, n - количество углов в основании, h - высота призмы

Площадь боковой поверхности прямой призмы:

S_бок = P_оснh

P_осн - периметр основания, h - высота

Пирамида

Объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} h S_{осн}$

S_осн - площадь основания, h - высота пирамиды

Объём правильной n-угольной пирамиды:

$V = \frac{a^{2} n h}{12 tg \frac{π}{n}}$

a - длина ребра основания правильной пирамиды, n - количество углов в основании, h - высота пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды:

S_бок = pa

p - полупериметр основания, a - апофема пирамиды (высота грани)

Объём усечённой пирамиды:

$V = \frac{1}{3} h (S_{1} + \sqrt{S_{1} S_{2}} + S_{2})$

S₁ - площадь нижнего основания, S₂ - площадь верхнего основания, h - высота усечённой пирамиды

Другие тела

Правильный тетраэдр

Форма грани: треугольник

Количество вершин: 4

Количество рёбер: 6

Количество граней: 4

Площадь поверхности: S = a²√3

Объём: $V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}$

Радиус описанной сферы: $R = \frac{\sqrt{6}}{4} a$

Радиус вписанной сферы: $r = \frac{\sqrt{6}}{12} a$

Октаэдр

Форма грани: треугольник

Количество вершин: 6

Количество рёбер: 12

Количество граней: 8

Площадь поверхности: S = 2a²√3

Объём: $V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^{3}$

Радиус описанной сферы: $R = \frac{\sqrt{2}}{2} a$

Радиус вписанной сферы: $r = \frac{\sqrt{6}}{6} a$

Икосаэдр

Форма грани: треугольник

Количество вершин: 12

Количество рёбер: 30

Количество граней: 20

Площадь поверхности: S = 5a²√3

Объём: $V = \frac{15 + 5 \sqrt{5}}{12} a^{3}$

Радиус описанной сферы: $R = \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4} a$

Радиус вписанной сферы: $r = \frac{3 + \sqrt{5}}{4 \sqrt{3}} a$

Додекаэдр

Форма грани: пятиугольник

Количество вершин: 20

Количество рёбер: 30

Количество граней: 12

Площадь поверхности: $S = 3 a^{2} \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}$

Объём: $V = \frac{15 + 7 \sqrt{5}}{4} a^{3}$

Радиус описанной сферы: $R = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{4} a$

Радиус вписанной сферы: $r = \frac{a}{4} \sqrt{10 + \frac{22}{\sqrt{5}}}$