Системы линейных алгебраических уравнений

Содержание

• Формула Крамера
• Метод Гаусса
• Метод обратной матрицы

Главный определитель:

	a1	b1	c1
Δ =	a2	b2	c2	= a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a3b2c1 − a1b3c2 − a2b1c3
	a3	b3	c3

Если Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение.

Далее заменяем последовательно коэффициенты при x, y, z... на свободные коэффициенты:

	d1	b1	c1
Δx =	d2	b2	c2	= d1b2c3 + d2b3c1 + d3b1c2 − d3b2c1 − d1b3c2 − d2b1c3
	d3	b3	c3

	a1	d1	c1
Δy =	a2	d2	c2	= a1d2c3 + a2d3c1 + a3d1c2 − a3d2c1 − a1d3c2 − a2d1c3
	a3	d3	c3

	a1	b1	d1
Δz =	a2	b2	d2	= a1b2d3 + a2b3d1 + a3b1d2 − a3b2d1 − a1b3d2 − a2b1d3
	a3	b3	d3

$x=\frac{{\Delta }_x}{\Delta }$

$y=\frac{{\Delta }_y}{\Delta }$

$z=\frac{{\Delta }_z}{\Delta }$

Аналогично для любого количества переменных.

Расширенная матрица системы:

Эту матрицу нужно привести к ступенчатому виду при помощи сложения, вычитания строк и умножения (деления) строки на число, не равное нулю:

Получаем систему:

$x_3=\frac{q}{p}$

$x_2=\frac{mp-lq}{kp}$

$x_1=\frac{hkp-fmp+flq-gkq}{ekp}$

Обратная матрица

AX = B

X = A⁻¹ ⋅ B