Квадратичная функция y = ax² + bx + c

Уравнение: y = ax² + bx + c, график - парабола

Свойства

№	Свойство	a > 0	a < 0
1.	Область определения функции:	D(f) = R	D(f) = R
2.	Множество значений функции:	E(f) = $[- \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}; + \infty)$	E(f) = $[- \infty; - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a})$
3.	Чётность функции:	При b = 0 - чётная При b ≠ 0 - ни чётная, ни нечётная	При b = 0 - чётная При b ≠ 0 - ни чётная, ни нечётная
4.	Пересечения с осями координат:	С Ox: $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$ (если D ≥ 0) С Oy: (0; c)	С Ox: $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$ (если D ≥ 0) С Oy: (0; c)
5.	Точки экстремума:	Точка минимума: x_min = $- \frac{b}{2 a}$	Точка максимума: x_max = $- \frac{b}{2 a}$
6.	Интервалы строгой монотонности:	Убывает на $(- \infty; - \frac{b}{2 a}]$ Возрастает на $[- \frac{b}{2 a}; + \infty)$	Возрастает на $(- \infty; - \frac{b}{2 a}]$ Убывает на $[- \frac{b}{2 a}; + \infty)$
7.	Наибольшее и наименьшее значения функции:	Наименьшее: y_min = $- \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$	Наибольшее: y_max = $- \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$
8.	Промежутки знакопостоянства:	y > 0 при x ∈ (−∞; x₁) ∪ (x₂; +∞) y < 0 при x ∈ (x₁; x₂)	y > 0 при x ∈ (x₁; x₂) y < 0 при x ∈ (−∞; x₁) ∪ (x₂; +∞)

y = ax², b = 0, c = 0

Знак коэффициента a показывает, куда направлены ветви параболы. Если a больше нуля (рис. 1.1), то ветви направлены вверх, если меньше нуля (рис. 1.2), то вниз.

Значение коэффициента a показывает сжатие или растяжение графика.

Для a > 0 (рис. 1.1): при a > 1 происходит сжатие, при a = 1 - стандартная форма параболы, при 0 < a < 1 - растяжение графика по оси Ox.

Для a < 0 (рис. 1.2): при a < −1 (коричневый) происходит сжатие, при a = −1 - стандартная форма параболы, при −1 < a < 0 - растяжение графика по оси Ox (зелёный).

y = ax² + c, b = 0

При b = 0 вершина параболы лежит на оси Oy и парабола симметрична относительно этой оси (являются чётной).

Коэффициент c показывает пересечение с осью Oy. При c > 0 пересечение выше оси Ox, c < 0 - пересечение ниже оси Ox, при c = 0 парабола проходит через точку (0; 0).

y = ax² + bx + c

Координата x вершины параболы определяется по формуле $x_{в} = - \frac{b}{2 a}$ . Поэтому смещение по оси Ox зависит от знака обоих коэффициентов a и b. Координата y вершины: $y_{в} = - \frac{b^{2}}{4 a} + c$

При a > 0 и b < 0, и при a < 0 и b > 0 смещение вправо.

При a < 0 и b < 0, и при a > 0 и b > 0 смещение влево.

Выделение полного квадрата

ax² + bx + c = a(x − m)² + n = $a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a})$ = $a (x^{2} + 2 \frac{b}{2 a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a})$ = $a ({(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} + \frac{c}{a})$ = $a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c$ = $a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$

ax² + bx + c = $a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$

$m = - \frac{b}{2 a}$ , $n = - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$

Коэффициент m показывает смещение вершины параболы по оси x, коэффициент n показывает смещение по оси y

Примеры

Записать уравнение параболы по графику

Пример 1

Определим три точки: A(− 2; − 2), B(0; − 2), и вершина C(− 1; − 4).

Коэффициент c равен координате y точки B пересечения параболы с осью Oy, c = − 2.

Из формулы для вершины параболы $- 1 = - \frac{b}{2 a}$ => 2a = b

Подставим в общее уравнение параболы координаты точки C и коэффициент c:

− 4 = a ⋅ (− 1)² + b ⋅ (− 1) − 2

a − b = − 2

Получаем систему ${\begin{matrix} 2 a = b, \\ a - b = - 2 \end{matrix}$

Из неё находим: a = 2, b = 4.

Уравнение: y = 2x² + 4x − 2

Пример 2

Так как ветви параболы направлены вниз, то коэффициент a меньше нуля.

Точки пересечения параболы с осью Ox (A(− 3; 0) и B(1; 0)) являются корнями квадартного уравнения, поэтому можем записать: y = a(x + 3)(x − 1) (*)

Подставим в (*) координаты вершины C(− 1; 2):

2 = a(− 1 + 3)(− 1 − 1)

a = − 0,5

Таким образом, y = − 0,5(x + 3)(x − 1)

Уравнение: y = − 0,5x² − x + 1,5

Найти точки пересечения графиков

Даны функции y = 2x² + x − 15 и y = x² + 5x + 6

Точки пересечения можно найти, приравняв левые части функций:

2x² + x − 15 = x² + 5x + 6

x² − 4x − 21 = 0

x₁ = − 3, x₂ = 7

Координаты y можно найти, подставив найденное значение в любую из данных функций:

y₁ = 2 ⋅ (− 3)² + (− 3) − 15 = 0

y₂ = 2 ⋅ 7² + 7 − 15 = 90

Точки пересечения: (− 3; 0) и (7; 90)

Построение графика

Дана функция y = x² + 4x + 3

График можно построить как по точкам, так и с помощью смещений по осям. Для второго варианта выделим полный квадрат:

y = x² + 4x + 3 = (x² + 4x + 4) − 1 = (x + 2)² − 1

Таким образом, вершина параболы смещается на 2 влево по оси Ox и на 1 вниз по Oy.

Квадратичная функция y = ax2 + bx + c