Треугольники

Содержание

Площадь треугольника:

1) $S=\frac{1}{2}ah$

S - площадь треугольника, h - высота, проведённая к стороне a

2) $S=\frac{1}{2}absin\gamma$

a, b - стороны треугольника, γ - угол между сторонами a и b

3) Формула Герона: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

a, b, c - стороны треугольника, p - полупериметр треугольника, $p=\frac{a+b+c}{2}$

4) S = rp

p - полупериметр треугольника, r - радиус вписанной окружности

5) $S=\frac{abc}{4R}$

a, b, c - стороны треугольника, R - радиус описанной окружности

Средняя линия треугольника

Средняя линия проводится от середины одной стороны к середине другой стороны параллельно третьей стороне.

Все три средние линии делят треугольник на четыре равных треугольника.

$l=\frac{1}{2}a$

a - сторона треугольника, параллельная средней линии

Биссектрисы треугольника

Биссектрисы треугольника делят углы треугольника пополам.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

Биссектриса равноудалена от сторон угла, в котором она проведена.

Теорема о биссектрисе: $\frac{B{A}_1}{C{A}_1}=\frac{AB}{AC}$

AA₁ - биссектриса

Длина биссектрисы l_a, проведённой к стороне a:

1) $l_a=\frac{2\sqrt{bcp(p-a)}}{b+c}$

a, b, c - стороны треугольника, p - полупериметр треугольника

2) $l_a=\sqrt{bc-b_l{c}_l}$

b, c - стороны треугольника, b_l, c_l - длины отрезков, на которые внутренняя биссектриса l_a делит сторону a (a = b_l + c_l)

3) $l_a=\frac{2bccos\frac{\alpha }{2}}{b+c}$

b, c - стороны треугольника, α - угол, в котором проведена биссектриса l_a

4) $l_a=\frac{2b_l{c}_{l}cos\frac{\alpha }{2}}{\sqrt{b_l^2+c_l^2-2b_l{c}_{l}cos\alpha }}$

α - угол, в котором проведена биссектриса l_a; b_l, c_l - длины отрезков, на которые внутренняя биссектриса l_a делит сторону a

5) $l_a=\frac{h_a}{cos\frac{\beta -\gamma }{2}}$

β, γ - углы треугольника, h_a высота треугольника, опущенная на сторону a

Медианы треугольника

Медиана делит сторону, к которой проведена, пополам.

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника, все три медианы - на шесть равновеликих треугольников.

Теорема Аполлония для вычисления длины медианы:

$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$

m_a - медиана, проведённая к стороне a; a, b, c - стороны треугольника

Высоты треугольника

Высота проводится под прямым углом к стороне.

Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Длина высоты h_a, проведённой к стороне a:

1) h_a = b sinγ = c sinβ = $a\frac{sin\beta sin\gamma }{sin(\beta +\gamma )}$

b, c - стороны треугольника, β, γ - углы треугольника

2) $h_a=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}$

p - полупериметр треугольника, a, b, c - стороны треугольника

3) $h_a=\frac{bc}{2R}$

b, c - стороны треугольника, R - радиус описанной окружности

Серединные перпендикуляры

Серединные перпендикуляры проводятся перпендикулярно к серединам сторон треугольника и пересекаются в одной точке — центре описанной окружности.

Отрезки серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, заключённые внутри него:

$p_a=\frac{2aS}{a^2+b^2-c^2}$

$p_b=\frac{2bS}{a^2+b^2-c^2}$

$p_c=\frac{2cS}{a^2-b^2+c^2}$

p_a, p_b, p_c - длины срединных перпендикуляров, a, b, c - стороны треугольника, a ≥ b ≥ c, S - площадь треугольника

Равнобедренный треугольник

AB = BC, B - вершина, AC - основание. Углы при основании равны: ∠A = ∠C.

В равнобедрнном треугольнике высота BH, проведённая из вершины B, является также биссектрисой и медианой и делит данный треугольник на два равных треугольника.

Равносторонний треугольник

Все стороны и все углы равностороннего треугольника равны между собой. Каждый угол равен 60°.

Все три высоты являются также медианами и биссектрисами.

Высоты (медианы и биссектрисы) равностороннего треугольника:

$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

a - сторона треугольника

Средний пропорциональный отрезок: $\frac{AH}{CH}=\frac{CH}{BH}$

AH ⋅ BH = CH ²

$CH=\sqrt{AH\cdot BH}$

$CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}$

CH – высота, проведённая из прямого угла

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из прямого угла: $m_c=\frac{1}{2}c=R$

c – гипотенуза прямоугольного треугольника, R – радиус описанной окружности

$S=\frac{1}{2}ab$

S - площадь прямоугольного треугольника, a и b - катеты

Теорема Пифагора:

a ² + b ² = c ²

a, b - катеты прямоугольного треугольника, c - гипотенуза

Сумма углов треугольника

∠A + ∠B + ∠C = 180°

Теорема синусов

$\frac{a}{sin\alpha }=\frac{b}{sin\beta }=\frac{c}{sin\gamma }=2R$

a, b, c - стороны треугольника, α, β, γ - углы, лежащие напротив соответствующих сторон, R - радиус описанной окружности

Теорема косинусов

c ² = a ² + b ² − 2ab cos γ

a, b, c - стороны треугольника, γ - угол между a и b

Признаки равенства треугольников

I признак: по двум сторонам и углу между ними. AB = A₁B₁; AC = A₁C₁; ∠A = ∠A₁ => △ABC = △A₁B₁C₁.

II признак: по стороне и двум прилегающим углам. AC = A₁C₁; ∠A = ∠A₁; ∠C = ∠C₁ => △ABC = △A₁B₁C₁.

III признак: по трём сторонам. AB = A₁B₁; AC = A₁C₁; BC = B₁C₁ => △ABC = △A₁B₁C₁.

Признаки подобия треугольников

Коэффициент подобия: $k=\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=\frac{c}{c_1}$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S}{S_1}=k^2$

I признак: по двум равным углам. ∠A = ∠A₁, ∠C = ∠C₁ => △ABC ∾ △A₁B₁C₁.

II признак: по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. $\frac{b}{b_1}=\frac{c}{c_1}$, ∠A = ∠A₁ => △ABC ∾ △A₁B₁C₁.

III признак: по трём пропорциональным сторонам. $\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=\frac{c}{c_1}$ => △ABC ∾ △A₁B₁C₁.