Планиметрия. Четырёхугольники

Содержание

Свойства квадрата

1. Все стороны квадрата равны и попарно параллельны (AB = BC = CD = AD; AB ∥ CD; AD ∥ BC).

2. Все углы квадрата равны 90° (∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°).

3. В любой квадрат можно вписать окружность, и около любого квадрата можно описать окружность.

Диагонали квадрата

Диагонали квадрата равны между собой, пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам (AC = BD; AC ⟂ BD; AO = OC, BO = OD).
Также диагонали являются биссектрисами углов квадрата (∠ABD = ∠CBD = 45°, и тд.).

d = a√2

a - сторона

Периметр квадрата

P = 4a

P - периметр квадрата, a - сторона

Площадь квадрата

1) S = a²

S - площадь квадрата, a - сторона квадрата

2) $S=\frac{1}{2}{d}^2$

d - диагональ квадрата

3) S = 2R ²

R - радиус описанной окружности, R = 1/2 d

4) S = 4r ²

r - радиус вписанной окружности, r = 1/2 a

Свойства прямоугольника

1. Все углы прямоугольника равны 90° (∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°).

2. Противоположные стороны прямоугольника попарно равны и параллельны (AB = CD, AB ∥ CD; AD = BC, AD ∥ BC).

3. Около любого прямоугольника можно описать окружность, но в никакой прямоугольник нельзя вписать окружность.

Диагонали прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны между собой и делятся точкой пересечения пополам (AC = BD; AO = OC, BO = OD).

d ² = a ² + b ²

d - диагональ, a, b - стороны прямоугольника

Периметр прямоугольника

P = 2(a + b)

P - периметр прямоугольника, a, b - стороны

Площадь прямоугольника

1) S = ab

S - площадь прямоугольника, a, b - стороны прямоугольника

2) $S=\frac{1}{2}{d}^{2}sin\gamma$

d - диагональ прямоугольника, γ - угол между диагоналями

3) $S=a\sqrt{4R^2-a^2}$

a - любая сторона прямоугольника, R - радиус описанной окружности, R = 1/2 d

Свойства ромба

1. Все стороны ромба равны и попарно параллельны (AB = BC = CD = AD; AB ∥ CD; AD ∥ BC).

2. Углы, лежащие напротив друг друга, попарно равны (∠A = ∠C, ∠B = ∠D).

3. Суммы углов, прилегающих к одной стороне, равны 180° (∠A + ∠B = 180°; ∠B + ∠C = 180°; ∠C + ∠D = 180°; ∠D + ∠A = 180°).

4. В любой ромб можно вписать окружность, но ни у одного ромба нельзя описать окружность.

Диагонали ромба

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам (AC ⟂ BD; AO = OC, BO = OD).
Также диагонали являются биссектрисами углов ромба (∠ABD = ∠CBD, и тд.).

Периметр ромба

P = 4a

P - периметр ромба, a - сторона

Высота ромба

h = 2r

h - высота ромба, r - радиус вписанной окружности

Площадь ромба

1) $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$

S - площадь ромба, d₁, d₂ - диагонали ромба

2) S = ah = 2ar

a - сторона ромба, h - высота ромба

3) S = a² sin α

α - угол между сторонами ромба

4) $S=\frac{d^2}{2}tg\frac{\alpha }{2}$

α - угол ромба, из которого проведена диагональ d

5) $S=\frac{d^2}{2}ctg\frac{\beta }{2}$

d - диагональ, противолежащая углу β

6) $S=\frac{4r^2}{sin\alpha }$

r - радиус вписанной окружности, α - угол между сторонами ромба

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны и параллельны (AB = CD, AB ∥ CD; AD = BC, AD ∥ BC).

2. Углы, лежащие напротив друг друга, попарно равны (∠A = ∠C, ∠B = ∠D).

3. Суммы углов, прилегающих к одной стороне, равны 180° (∠A + ∠B = 180°; ∠B + ∠C = 180°; ∠C + ∠D = 180°; ∠D + ∠A = 180°).

4. Около параллелограмма нельзя описать окружность, а вписать можно только в случае, если это ромб.

Диагонали параллелограмма

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам (AO = OC; BO = OD).

d₁² + d₂² = 2(a² + b²)

d₁, d₂ - диагонали, a, b - стороны параллелограмма

Периметр параллелограмма

P = 2(a + b)

P - периметр параллелограмма, a, b - стороны

Площадь параллелограмма

1) S = ah

S - площадь параллелограмма, a - сторона параллелограмма, h - высота, проведённая к стороне a

2) S = ab sin α

a, b - стороны параллелограмма, α - угол между сторонами

3) $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_{2}sin\gamma$

d₁, d₂ - диагонали параллелограмма, γ - угол между диагоналями

Свойства трапеции

1. Две противоположные стороны, называемые основаниями, параллельны, а две другие (боковые стороны) - не параллельны (AD ∥ BC).

2. Сумма углов, прилегающих к одной боковой стороне, равна 180° (∠A + ∠B = 180°; ∠C + ∠D = 180°).

3. Треугольники, образованные диагоналями и основаниями трапеции, подобные: △AOD ∾ △BOC.

4. Треугольники, образованные диагоналями и боковыми сторонами трапеции, равновеликие (равные по площади): S_△AOB = S_△COD.

5. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность. Вписать окружность можно только если сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Средняя линия трапеции

$l=\frac{a+c}{2}$

a, c - основания трапеции

Высота равнобедренной трапеции

У равнобедренной трапеции боковые стороны равны.

$h^2=b^2-{\left(\frac{a-c}{2}\right)}^2$

a, c - основания трапеции, h - высота трапеции, b - боковая сторона

Площадь трапеции

1) $S=\frac{1}{2}(a+c)h=lh$

a, c - основания трапеции, h - высота трапеции, l - средняя линия

2) $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_{2}sin\gamma$

d₁, d₂ - диагонали трапеции, γ - угол между диагоналями

3) $S=\frac{a+c}{2}\sqrt{b^2-{\left(\frac{{(a-c)}^2+b^2-d^2}{2(a-c)}\right)}^2}$

a, c - основания трапеции, b, d - боковые стороны

4) $S=\frac{4r^2}{sin\alpha }$

r - радиус вписанной окружности, α - любой угол между сторонами трапеции (окружность можно вписать только в равнобедренную трапецию)

Сумма углов четырёхугольника

α + β + γ + δ = 360°

Описанный четырёхугольник

AB + CD = AD + BC

AB и CD, AD и BC - пары противоположных сторон четырёхугольника

Вписанный четырёхугольник

α + γ = β + δ = 180°

Первая теорема Птолемея: d₁d₂ = ac + bd

Вторая теорема Птолемея: $\frac{d_1}{d_2}=\frac{ab+cd}{ad+bc}$

Диагональ четырёхугольника, начинающаяся в пересечении сторон a и b:
$d_1=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}$

Диагональ четырёхугольника, начинающаяся в пересечении сторон a и d:
$d_2=\sqrt{\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}}$

Полупериметр четырёхугольника

$p=\frac{a+b+c+d}{2}$

p - полупериметр четырёхугольника, a, b, c, d - стороны

Площадь четырёхугольника

1) $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_{2}sin\gamma$

d₁, d₂ - диагонали четырёхугольника, γ - угол между диагоналями

2) S = rp

r - радиус вписанной окружности, p - полупериметр

3) $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd{(cos\frac{\alpha +\gamma }{2})}^2}$

p - полупериметр четырёхугольника, a, b, c, d - стороны, α, γ - любые противоположные углы

4) Формула Брахмагупты: $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

S - площадь четырёхугольника, который можно вписать в окружность, p - полупериметр четырёхугольника, a, b, c, d - стороны

5) $S=\sqrt{abcd}\cdot sin\frac{\alpha +\gamma }{2}$

S - площадь четырёхугольника, в который можно вписать окружность, a, b, c, d - стороны, α, γ - любые противоположные углы