Планиметрия. Многоугольники

Содержание

• Правильный многоугольник
• Правильный шестиугольник
• Правильный восьмиугольник

Величина угла правильного многоугольника

$\alpha =\frac{180°\cdot (n-2)}{n}$

α - угол многоугольника, n - количество углов многоугольника

Периметр правильного многоугольника

P = an

a - сторона многоугольника, n - количество углов

Площадь правильного многоугольника

1) S = pr

p - полупериметр многоугольника, p = P/2, r - радиус вписанной окружности

2) $S=\frac{n{a}^2}{4tg\frac{180°}{n}}$

a - сторона многоугольника, n - количество углов

3) $S=n{r}^{2}tg\frac{180°}{n}$

n - количество углов, r - радиус вписанной окружности

4) $S=\frac{n{R}^2}{2}·sin\frac{360°}{n}$

n - количество углов, R - радиус описанной окружности

Количество диагоналей n-угольника

$D_n=\frac{n(n-3)}{2}$

n - количество углов

Сторона правильного многоугольника

1) $a=2rtg\frac{\pi }{n}$

n - количество углов, r - радиус вписанной окружности

2) $a=2Rsin\frac{\pi }{n}$

n - количество углов, R - радиус описанной окружности

Сторона правильного шестиугольника

1) $a=\frac{2\sqrt{3}}{3}r$

r - радиус вписанной окружности

2) a = R

R - радиус описанной окружности

Угол между сторонами правильного шестиугольника

α = 120°

Площадь правильного шестиугольника

1) $S=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

a - сторона правильного шестиугольника

2) S = 2r ²√3

r - радиус вписанной окружности

3) $S=\frac{3R^2\sqrt{3}}{2}$

R - радиус описанной окружности

Сторона правильного восьмиугольника

1) a = 2r(√2 − 1)

r - радиус вписанной окружности

2) $a=R\sqrt{2-\sqrt{2}}$

R - радиус описанной окружности

Угол между сторонами правильного восьмиугольника

α = 135°

Площадь правильного восьмиугольника

1) S = 2a²(√2 + 1)

a - сторона правильного восьмиугольника

2) S = 8r ²(√2 − 1)

r - радиус вписанной окружности

3) S = 2R²√2

R - радиус описанной окружности