Планиметрия. Окружности

Содержание

Длина окружности

C = 2πR

R - радиус круга

Длина дуги окружности

$l=2\pi R\frac{\alpha °}{360°}$

R - радиус круга, α - угол в градусах

Площадь круга

S = πR²

R - радиус круга

Центральные и вписанные углы

Центральный угол равен величине дуги, на которую он опирается: ∠AOB = ◡AKB.

Вписанный угол равен половине величины дуги, на которую он опирается: ∠ACB = $\frac{1}{2}$◡AKB.

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой: ∠ACB = ∠ADB.

∠AOB = 2∠ACB = 2∠ADB

∠AOB - центральный угол, ∠ACB, ∠ADB - вписанные углы

Касательные, секущие

Хорды

AE ⋅ EB = CE ⋅ ED

AB, CD - хорды, E - точка пересечения хорд

Окружность, вписанная в треугольник

Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

1) $r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}=\sqrt{\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}$

S - площадь треугольника, r - радиус вписанной окружности, p - полупериметр треугольника, a, b, c - стороны треугольника

2) $\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}$

r - радиус вписанной окружности, h_a, h_b, h_c - высоты треугольника, проведённые к сторонам a, b, c

3) Теорема котангенсов: $r=\frac{p-a}{ctg\frac{\alpha }{2}}=\frac{p-b}{ctg\frac{\beta }{2}}=\frac{p-c}{ctg\frac{\gamma }{2}}$

r - радиус вписанной окружности, p - полупериметр треугольника, a, b, c - стороны треугольника, α, β, γ – углы треугольника

4) В прямоугольный треугольник: $r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{ab}{a+b+c}$

r – радиус вписанной окружности, a, b – катеты, c – гипотенуза

5) В равносторонний треугольник: r = 1/3 h

h - высота равностороннего треугольника

6) Расстояние от вершины A треугольника до центра окружности:

$l_A=\frac{r}{sin\frac{\alpha }{2}}=\sqrt{{(p-a)}^2+r^2}=\sqrt{bc-4Rr}$

α - угол при вершине A, p - полупериметр треугольника, a - сторона, лежащая напротив угла A, b, c - другие стороны треугольника, r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности

Описанная около треугольника окружность

Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

1) $R=\frac{abc}{4S}$

R - радиус описанной окружности, S - площадь треугольника, a, b, c - стороны треугольника

2) $R=\sqrt{\frac{S}{2sin\alpha sin\beta sin\beta }}$

R - радиус описанной окружности, S - площадь треугольника, α, β, γ – углы треугольника

3) $R=\frac{a}{2sin\alpha }=\frac{b}{2sin\beta }=\frac{c}{2sin\beta }$

R - радиус описанной окружности, a, b, c - стороны треугольника, α, β, γ – углы треугольника

4) $R=\frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}=\frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}$

p - полупериметр треугольника, R - радиус описанной окружности, a, b, c - стороны треугольника

5) Около равностороннего треугольника: R = 2/3 h

h - высота равностороннего треугольника

Вписанная и описанная окружности в треугольник

1) Теорема Эйлера: d ² = R² − 2Rr

d - расстояние между центрами окружностей, R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности

2) $d=R\sqrt{\frac{(a-b-c)(-a+b-c)(-a-b+c)}{abc}}$

d - расстояние между центрами окружностей, R - радиус описанной окружности, a, b, c - стороны треугольника

3) $\frac{r}{R}=\frac{4S^2}{pabc}=cos\alpha +cos\beta +cos\gamma -1=4sin\frac{\alpha }{2}sin\frac{\beta }{2}sin\frac{\gamma }{2}$

r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности, p - полупериметр треугольника, a, b, c - стороны треугольника, α, β, γ – углы треугольника

4) $2Rr=\frac{abc}{a+b+c}$

r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности, a, b, c - стороны треугольника

Вневписанная окружность треугольника

Это окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон.

Центром вневписанной окружности является пересечение биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис двух других внешних углов.

Радиус вневписанной окружности:

$R=\frac{S}{p-a}$

S - площадь треугольника, p - полупериметр, a - сторона, которой касается окружность

$\frac{1}{r}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}$

r - радиус вписанной окружности, r_a, r_b, r_c - радиусы вневписанных окружностей, касающихся соответственно сторон a, b, c треугольника

4R = r_a + r_b + r_c − r

R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности, r_a, r_b, r_c - радиусы вневписанных окружностей, касающихся соответственно сторон a, b, c треугольника

Вписанная в четырёхугольник окружность

AB + CD = AD + BC

AB и CD, AD и BC - пары противоположных сторон четырёхугольника

Описанная вокруг четырёхугольника окружность

1) α + γ = β + δ = 180°

α и γ, β и δ - пары противоположных углов

2) Теорема Птолемея:

AB ⋅ CD + AD ⋅ BC = AC ⋅ BD

AB, CD, AD, BC - стороны четырёхугольника, AC, BD - диагонали четырёхугольника

3) $R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$

R - радиус описанной окружности, p - полупериметр четырёхугольника, a, b, c, d - стороны четырёхугольника

Вписанная и описанная окружности в четырёхугольник

$\frac{1}{{(R+d)}^2}+\frac{1}{{(R-d)}^2}=\frac{1}{r^2}$

R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, d – расстояние между центрами окружностей

$d^2=R^2+r^2-r\sqrt{4R^2+r^2}$

R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, d – расстояние между центрами окружностей

Вписанная в многоугольник окружность

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех внутренних углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность.

$r=\frac{S}{p}$

r - радиус вписанной окружности, S - площадь многоугольника, p - полупериметр многоугольника

Описанная около многоугольника окружность

Центром является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Около любого правильного многоугольника (все углы и стороны равны) можно описать окружность, и притом только одну.