Линейная функция y = kx + b

Уравнение: y = kx + b, график - прямая

Свойства

1. Область определения - вся числовая прямая: D(y) = R

2. Область значений - вся числовая прямая: E(y) = R

3. Чётность / нечётность зависит от значений коэффициентов:

k = 0, b = 0 - и чётная, и нечётная

k = 0, b ≠ 0 - чётная

k ≠ 0, b = 0 - нечётная

k ≠ 0, b ≠ 0 - ни чётная, ни нечётная

4. Точки пересечений с осями координат: с Ox: (−bk; 0), с Oy: (0; b)

5. Функция монотонно возрастает при k > 0, убывает при k < 0 и параллельна оси Ox при k = 0

1) y = kx, b = 0

Коэффициент k (угловой коэффициент) показывает наклон прямой.
k = tgα, где α - угол между прямой и положительной частью оси абсцисс (Ox).

У параллельных прямых угловые коэффициенты k равны: k1 = k2

Наклон вправо (функция возрастает, рис. 1.1) - k > 0, влево (убывает, рис. 1.2) - k < 0.

Если k = 1, то угол между положительной полуосью Ox равен 45°, при k > 1 угол от 45° до 90°, при 0 < k < 1 угол от 0 до 45°

Если k = −1, то то угол между положительной полуосью Ox равен 135°, при k < −1 угол от 90° до 135°, при −1 < k < 0 угол лежит в пределах от 135° до 180°

Если b = 0, то график проходит через начало координат (точку с координатами (0; 0))

Рис. 1.1
Рис. 1.2

2) y = kx + b, b ≠ 0

Коэффициент b показывает пересечение с осью ординат (Oy) в точке (0; b).
При b > 0 пересечение выше оси Ox, при b < 0 - ниже.

Рис. 2.1
Рис. 2.2

3) Частные случаи

x = a (рис. 3.1)

Пересечение с осью Ox в точке (a; 0), пересечений с Oy нет (прямая параллельна оси Oy).

x = 0 - прямая совпадает с осью Oy

y = b (рис. 3.2)

Пересечение с осью Oy в точке (0; b), пересечений с Ox нет (прямая параллельна оси Ox).

y = 0 - прямая совпадает с осью Ox

Рис. 3.1
Рис. 3.2

Примеры

Записать уравнение прямой по рисунку

График

Определим по графику значение коэффициентов k и b.

Наклон прямой свидетельствует о том, что коэффициент k будет отрицательным.

Найдём опорные точки A(−5; 3) и B(0; 1). Построим прямоугольный треугольник ABC

k=−ACBC= −25=−0,4

Коэффициент b равен координате y точки пересечения прямой с осью Oy - точки B: b = 1

Уравнение: y = − 0,4x + 1

Найти точку пересечения графиков

Даны функции y = 2x − 3 и y = 4x + 7.

Точку пересечения можно найти, приравняв левые части функций:

2x − 3 = 4x + 7

x = − 5

Координату y можно найти, подставив найденное значение в любую из данных функций:

y = 2 ⋅ (− 5) − 3 = − 13

Точка пересечения: (− 5; − 13)

Вверх